Énoncé du théorème

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (les cathètes). Si l'on note a et b les longueurs des cathètes et c celle de l'hypoténuse, alors :

a² + b² = c²

Le théorème porte le nom de Pythagore (philosophe grec, vi^e siècle av. J.-C.), mais des relations équivalentes étaient connues bien plus tôt dans les civilisations mésopotamienne, indienne et chinoise. C'est l'un des résultats les plus utilisés en géométrie élémentaire.

Trois cas d'usage selon l'inconnue

Trouver l'hypoténuse

Connaissant les deux cathètes : c = √(a² + b²). Exemple : a = 3, b = 4. Alors c = √(9 + 16) = √25 = 5. Le triplet (3, 4, 5) est le plus simple des « triplets pythagoriciens » : trois entiers vérifiant exactement la relation.

Trouver une cathète

Connaissant l'hypoténuse et l'une des cathètes : a = √(c² − b²). Exemple : c = 13, b = 5. Alors a = √(169 − 25) = √144 = 12. (5, 12, 13) est un autre triplet pythagoricien classique.

Attention : si vous saisissez une « hypoténuse » plus petite que l'une des cathètes, la racine devient imaginaire. Le calculateur signale l'incohérence. Vérifiez que vous avez bien identifié l'hypoténuse : c'est toujours le plus long côté.

Tester si un triangle est rectangle (réciproque)

Si vous connaissez les trois côtés, vérifiez l'égalité a² + b² = c² avec c le plus long. Si l'égalité est vraie, le triangle est rectangle ; l'angle droit est opposé à c. C'est la réciproque du théorème — très utile en menuiserie ou en maçonnerie pour vérifier un angle de 90°.

Triplets pythagoriciens utiles à connaître

Quelques triplets d'entiers (a, b, c) qui satisfont exactement la relation :

• (3, 4, 5) — et tous ses multiples (6, 8, 10) ; (9, 12, 15) ; (30, 40, 50)…
• (5, 12, 13)
• (7, 24, 25)
• (8, 15, 17)
• (9, 40, 41)
• (20, 21, 29)

Le triplet (3, 4, 5) sert depuis l'Antiquité à tracer un angle droit sur un chantier : une cordelette de 12 unités, nouée en 4 puis en 8 (soit segments 4 + 3 + 5), tendue, dessine un triangle rectangle parfait.

Usages pratiques

Bricolage et travaux

Calculer la longueur d'une diagonale dans une pièce de 5 m × 4 m : √(25 + 16) ≈ 6,40 m. Utile pour vérifier qu'un meuble passe en biais, qu'un pan de mur est bien d'équerre, ou que les diagonales d'une dalle sont égales (sinon, l'angle n'est pas droit).

Toiture et escaliers

Pour un toit à deux pentes, la longueur du chevron se calcule à partir de la portée horizontale et de la hauteur du faîtage : chevron = √(portée² + hauteur²). Pour un escalier, la longueur de la limon se calcule à partir du recul total et de la hauteur entre planchers.

Navigation et trajets

Si vous parcourez 3 km à l'est puis 4 km au nord, la distance à vol d'oiseau du point de départ est de 5 km — application directe du théorème.

Écran et diagonales

La taille d'un écran 16:9 affichée « 27 pouces » est sa diagonale. À partir de la diagonale et du ratio, on retrouve la largeur et la hauteur en appliquant le théorème dans l'autre sens.

Au-delà du triangle rectangle

Pour un triangle quelconque, le théorème se généralise via la loi des cosinus : c² = a² + b² − 2ab × cos(γ), où γ est l'angle opposé au côté c. Quand γ = 90°, cos(γ) = 0, et on retrouve la relation de Pythagore. Pour les triangles non rectangles, utilisez le calculateur de triangle, qui gère côtés, angles et aire dans le cas général.

Outils liés

• Calculateur de triangle — propriétés générales (côtés, angles, aire).
• Aire et périmètre — pour les surfaces planes.
• Puissance et racines — pour les calculs au carré et racines.
• Calculatrice scientifique — pour des calculs trigonométriques détaillés.
• Surface en m² — pour appliquer le théorème à des pièces.

Dernière révision le 12 mai 2026.