Calcul de Puissance : a puissance b

Entrez une base et un exposant pour obtenir instantanément ab : 2 puissance 8 = 256, 2 puissance 10 = 1 024, 4 puissance 3 = 64. Exposants négatifs, décimaux et très grands résultats pris en charge.

28

Résultat

28
256

Résultat

5²
25
2 = racine carrée, 3 = racine cubique, etc.

Résultat

√16
4

Résultat

∛27
3

⚡ Réponses rapides : puissances les plus recherchées

24 = 16
26 = 64
28 = 256
210 = 1 024
216 = 65 536
43 = 64
34 = 81
106 = 1 000 000

Exemples détaillés

2 puissance 8 :
28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256
(c'est le nombre de valeurs possibles d'un octet : 0 à 255)

2 puissance 10 :
210 = 28 × 22 = 256 × 4 = 1 024

4 puissance 3 :
43 = 4 × 4 × 4 = 16 × 4 = 64

2 puissance -3 (exposant négatif) :
2-3 = 1 / 23 = 1/8 = 0,125

49 puissance k+3 (exposant littéral) :
49k+3 = 49k × 493 = 49k × 117 649
et comme 49 = 72 : 49k+3 = 72k+6

Table des puissances de 2 (20 à 221)

n2nn2n
2012112 048
2122124 096
2242138 192
23821416 384
241621532 768
253221665 536
2664217131 072
27128218262 144
28256219524 288
295122201 048 576
2101 0242212 097 152

Au-delà : 224 = 16 777 216 ; 230 = 1 073 741 824 ; 232 = 4 294 967 296 ; 264 = 18 446 744 073 709 551 616. Dans l'autre sens : 2-1 = 0,5 ; 2-2 = 0,25 ; 2-3 = 0,125. Astuce : chaque fois que l'exposant augmente de 1, le résultat double, et 210 ≈ 1 000.

Puissances de 3, 4 et 5

n3n4n5n
1345
291625
32764125
481256625
52431 0243 125
67294 09615 625

📖 Guide Complet des Puissances et Exposants

Qu'est-ce qu'une puissance ?

Une puissance exprime la multiplication répétée d'un nombre par lui-même. On écrit ab où :

Définition :
an = a × a × a × ... × a (n fois)

Exemples :
23 = 2 × 2 × 2 = 8
54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
102 = 10 × 10 = 100

Cas particuliers

Cas Règle Exemple
a0Toujours égal à 150 = 1
a1Égal à a71 = 7
0n (n>0)Égal à 005 = 0
1nToujours égal à 11100 = 1
(-a)n pairRésultat positif(-2)4 = 16
(-a)n impairRésultat négatif(-2)3 = -8

Les 7 lois des exposants

1. Multiplication de même base :
am × an = a(m+n)
Exemple : 23 × 24 = 27 = 128

2. Division de même base :
am / an = a(m-n)
Exemple : 56 / 52 = 54 = 625

3. Puissance d'une puissance :
(am)n = a(m×n)
Exemple : (32)3 = 36 = 729

4. Puissance d'un produit :
(a × b)n = an × bn
Exemple : (2 × 3)2 = 22 × 32 = 4 × 9 = 36

5. Puissance d'un quotient :
(a / b)n = an / bn
Exemple : (6 / 2)3 = 63 / 23 = 216 / 8 = 27

6. Exposant négatif :
a-n = 1 / an
Exemple : 2-3 = 1 / 23 = 1/8 = 0,125

7. Exposant fractionnaire :
a(m/n) = n√(am)
Exemple : 8(1/3) = ∛8 = 2

Racines

Une racine est l'opération inverse de la puissance.

Racine carrée (√) :
√a = a(1/2)
Si √a = b, alors b2 = a
Exemple : √16 = 4 car 42 = 16

Racine cubique (∛) :
∛a = a(1/3)
Si ∛a = b, alors b3 = a
Exemple : ∛27 = 3 car 33 = 27

Racine n-ième (n√) :
n√a = a(1/n)
Si n√a = b, alors bn = a
Exemple : 4√16 = 2 car 24 = 16

Propriétés des racines

√(a × b) = √a × √b
√(a / b) = √a / √b
n√(am) = a(m/n)
(n√a)m = a(m/n)
n√(m√a) = (n×m)√a

Puissances de 10 (notation scientifique)

10n s'écrit avec un 1 suivi de n zéros ; 10-n = 0,00…01 avec le 1 en ne position après la virgule.

Puissance Valeur Nom
10-90,000000001nano
10-60,000001micro
10-30,001milli
10-20,01centi
10-10,1déci
1001unité
10110déca
102100hecto
1031 000kilo
1061 000 000méga
1091 000 000 000giga
10121 000 000 000 000téra
10151 000 000 000 000 000péta

Carrés parfaits courants

n n² n n²
1111121
2412144
3913169
41614196
52515225
63620400
74925625
864502500
98110010000
1010010001000000

Applications pratiques

1. Croissance exponentielle

2. Physique

3. Informatique

4. Finance

Exemples pratiques

Exemple 1 : Épargne avec intérêts composés

Vous placez 1000€ à 5% par an pendant 10 ans. Combien aurez-vous ?

A = P × (1 + r)n
A = 1000 × (1,05)10
A = 1000 × 1,6289
A = 1628,89€

Exemple 2 : Surface d'un terrain circulaire

Un terrain a un rayon de 20m. Quelle est sa surface ?

A = πr2
A = π × 202
A = π × 400
A ≈ 1256,64 m²

Exemple 3 : Simplifier avec les lois

Simplifier : (25 × 23) / 24

= 2(5+3) / 24
= 28 / 24
= 2(8-4)
= 24
= 16

Questions fréquentes

Pourquoi a0 = 1 ?

C'est une convention mathématique cohérente avec la loi am/an = a(m-n). Si m = n, alors am/am = 1, et (m-n) = 0, donc a0 = 1.

Peut-on avoir un exposant négatif ?

Oui ! a-n = 1/an. C'est l'inverse de la puissance positive. Exemple : 2-3 = 1/8.

Quelle est la différence entre √(-16) et (-4)² ?

(-4)² = 16 (positif). Mais √(-16) n'existe pas dans les nombres réels (c'est un nombre imaginaire 4i).

Comment calculer un exposant fractionnaire ?

a(m/n) = n√(am). Exemple : 8(2/3) = ∛(82) = ∛64 = 4.

Que signifie 23,5 ?

C'est 2(7/2) = √(27) = √128 ≈ 11,31.